B.1 Efectos de la limitación del ancho de banda

• Las señales gastan energía en su propagación (se atenúan).
• La atenuación depende de la frecuencia porque los medios de transmisión transmiten con menor atenuación un determinado rango de frecuencias. Típicamente se comportan como un filtro paso bajo.
• Para ver de qué manera afecta esto a la transmisión de señales digitales es necesario conocer cómo es el espectro de frecuencias o función de densidad espectral [15] de una señal digital. Para encontrarlo podemos hacer uso de una herramienta matemática denominada análisis de Fourier, que permite representar cualquier señal periódica mediante una sumatoria (a priori infinita) de señales senoidales [18] (véase el Apéndice ??).
• Es evidente que las señales digitales generalmente no son periódicas. Sin embargo, y por suerte para nuestro análisis inicial, la señal digital que mayores requerimientos de ancho de banda posee es aquella que representa a la secuencia de bits 010101, que sí genera una señal periódica. A esta secuencia se la conoce por ello como la peor secuencia posible [9], porque genera la señal digital con periodo más corto y por tanto con la componente de frecuencia fundamental ω₀ más alta. Nótese que sólo si la función es periódica se puede hablar de frecuencia fundamental.
• Supongamos que nuestro sistema de representación utiliza una amplitud de señal 1 para codificar un 1 y -1 para un 0. Bajo estas circunstancias, la figura:

  

  muestra gráficamente cómo sería el proceso de aproximación mediante la serie de Fourier para la señal digital que representa a la peor secuencia posible, que analíticamente consiste en

  (B.1)

• Como puede apreciarse, todas las componentes de frecuencia que son múltiplos pares de ω₀ (la frecuencia fundamental) son nulas, lo que genera un espectro de frecuencias disperso (no denso) característico de todas las señales periódicas. Gráficamente:

  

  donde ω_n = 2πf_n es la n-ésima componente de frecuencia de s(t) expresada en radianes por segundo (f_n se mide por tanto en Hercios o Hz)^* y donde S(f) denota a la transformada de Fourier de s(t) [15, 18]. En nuestro ejemplo ocurre que todos los a_n son cero, incluyendo a₀ que coincide con la media de la señal.

• Este espectro posee dos propiedades importantes de cara a su transmisión:
  1. El ancho de banda que consume una señal digital es infinito, es decir, que para que el receptor reciba una señal ideal es necesario que el ancho de banda del enlace sea ilimitado (no filtre ninguna frecuencia).
  2. La mayor parte de la energía se concentra en las bajas frecuencias, especialmente en la componente f₀. De hecho, si sólo se transmite la componente de frecuencia fundamental todavía es posible la recepción con éxito. Por ejemplo, en la figura que muestra la aproximación de Fourier a la peor secuencia posible se aprecia que cuando la frecuencia fundamental es f₀ Hz se pueden transmitir hasta 2f₀ bps.

B.1.1 Estimación de Nyquist para la capacidad de un enlace

• En ausencia de ruido, Nyquist estimó que es posible transmitir una señal digital usando únicamente su componente de frecuencia fundamental.
• Si w es el ancho de banda del medio y m es el número de niveles de señalización, la capacidad c_Ny máxima del medio (la máxima tasa de bits a la que es posible transmitir) medida en bits/segundo o bps es igual a:

  (B.2)

Ejemplo B.12: El ancho de banda de un enlace telefónico posee típicamente unos 3.000 Hz, dispuestos desde los 300 hasta los 3.300 Hz. Suponiendo que se están utilizando 2 niveles de señalización, estimar la máxima velocidad de transferencia que es posible alcanzar (capacidad de Nyquist).